Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，給出四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）一定有兩個(gè)極值點(diǎn)．
②若x=x₀是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）上單調(diào)遞減．
③f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形．
④若f′（x₀）=0，則x=x₀是f（x）的極值點(diǎn)．
則結(jié)論正確的有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．②④根據(jù)極值點(diǎn)的定義進(jìn)行判斷．③根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答 解：①f′（x）=3x²+2ax+b，若△=4a²-12b＜0，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；
②若x₀是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）必有極大值x=m，且m＜x₀，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，x₀）上單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤；
③f（x）=（x-x₀）³+b（x-x₀）+y₀的對(duì)稱中心是（x₀，y₀），
f（x）=x³+ax²+bx+c如果能寫成f（x）=（x-x₀）³+b（x-x₀）+y₀的形式，那么三次函數(shù)的對(duì)稱中心就是（x₀，f（x₀），
∴設(shè)f（x）=（x-x₀）³+p（x+m）+n，
得f（x）=ax³+3amx²+（3am²+p）x+am³+pm+n，
∴3am=b； 3am²+p=c； am³+pm+n=d；
∴m=$\frac{3a}$，p=$\frac{3ac{-b}^{2}}{3a}$，n=d+$\frac{{2b}^{3}}{2{7a}^{2}}$-$\frac{bc}{3a}$，
∴f（x）=a（x+$\frac{3a}$）³+（c-$\frac{^{2}}{3a}$）（x+$\frac{3a}$）+d+$\frac{{2b}^{3}}{2{7a}^{2}}$-$\frac{bc}{3a}$，
故函數(shù)y=f（x）的圖象一定是中心對(duì)稱圖形，故③正確；
④若f′（x₀）=0，則x=x₀不一定是f（x）的極值點(diǎn)，故④錯(cuò)誤；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查導(dǎo)函數(shù)與極值的應(yīng)用，要求熟練掌握三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．