Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q，R分別是AA₁，D₁C₁，BC的中點(diǎn)，試證明過(guò)P，Q，R的截面為正六邊形，且截面與其他棱的交點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，過(guò)點(diǎn)Q作QM∥C₁A₁，交A₁D₁于點(diǎn)M，得出MQ=

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2

A₁C₁，同理RN∥CA，RN=

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2

AC，得出RN∥MQ，且RN=MQ；PM∥RS，PM=RS；PN∥QS，PN=QS；即可得出結(jié)論．

解答： 解：如圖所示，
過(guò)點(diǎn)Q作QM∥C₁A₁，交A₁D₁于點(diǎn)M，∴MQ=

1

2

A₁C₁
過(guò)點(diǎn)R作RN∥CA，交AB于點(diǎn)N，∴RN=

1

2

AC，
∴RN∥MQ，且RN=MQ，
同理，PM∥RS，PM=RS，
PN∥QS，PN=QS；
∴六邊形PMQSRN是正六邊形，
且P、M、Q、S、R、N分別是棱AA₁、A₁D₁、D₁C₁、C₁C、BC、AB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題以正方體為載體，考查了空間中的平行關(guān)系，四點(diǎn)共面的證明問(wèn)題，是中檔題．