Question

已知直線l：y=x+1與曲線C：交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若|OA|=|OB|，求證：曲線C是一個(gè)圓；
（Ⅱ）若OA⊥OB，當(dāng)a＞b且時(shí)，求曲線C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)直線L與曲線C的交點(diǎn)利用兩點(diǎn)間的距離公式和題設(shè)等式求得x₁²-x₂²=y₂²-y₁²，把A，B代入橢圓的方程兩式相減求得整理求得a和b的關(guān)系，判斷出曲線的圖象是圓．
（Ⅱ）設(shè)直線L與曲線C的交點(diǎn)根據(jù)a＞b判斷出曲線C為橢圓，根據(jù)OA⊥OB判斷出兩直線的斜率之積為-1，求得y₁y₂=-x₁x₂，將y=x+1代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而利用直線方程求得y₁y₂的表達(dá)式，進(jìn)而建立等式求得關(guān)于a和c的方程，求得a和c的關(guān)系式，進(jìn)而表示出橢圓的離心率，利用a的范圍確定離心率的范圍．
解答：（Ⅰ）證明：設(shè)直線L與曲線C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∵|OA|=|OB|
∴即：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²
∴x₁²-x₂²=y₂²-y₁²
∵A，B在C上
∴，
∴兩式相減得：
∴即：a²=b²
∴曲線C是一個(gè)圓
（Ⅱ）設(shè)直線L與曲線C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
∵a＞b＞o
∴曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
∵OA⊥OB
∴即：y₁y₂=-x₁x₂
將y=x+1代入b²x²+a²y²-a²b²=0整理得：
（b²+a²）x²+2a²+a²-a²b²=0
∴，
∵A，B在L上∴y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₂+x₁+1
又∵y₁y₂=-x₁x₂
∴2x₁x₂+x₂+x₁+1=0
∴2
∴b²+a²-2b²a²=0
∴a²+a²-c²-2a²（a²-c²）=0
∴2a⁴-2a²+c²-2c²a²=0
∴
∴
∵
∴2a²-1∈[2，4]
∴
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的基本性質(zhì)．要求考生能對橢圓中a，b和c的關(guān)系能熟練理解和應(yīng)用．