Question

如圖，開發(fā)商欲對(duì)邊長(zhǎng)為1km的正方形ABCD地段進(jìn)行市場(chǎng)開發(fā)，擬在該地段的一角建設(shè)一個(gè)景觀，需要建一條道路EF（點(diǎn)E、F分別在BC、CD上），根據(jù)規(guī)劃要求△ECF的周長(zhǎng)為2km．
（1）設(shè)∠BAE=α，∠DAF=β，試求α+β的大�。�
（2）欲使△EAF的面積最小，試確定點(diǎn)E、F的位置．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)規(guī)劃要求△ECF的周長(zhǎng)為2km，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；
（2）先表示三角形的面積，再利用三角函數(shù)求面積的最值，從而可確定點(diǎn)E、F的位置．

解答：解：（1）設(shè)CE=x，CF=y（0＜x≤1，0＜y≤1），則tanα=1-x，tanβ=1-y，
由已知得：x+y+

x2+y2

=2，即2（x+y）-xy=2…（4分）
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2-(x+y)

x+y-xy

=1
∵0＜α+β＜

π

2

，∴α+β=

π

4

；…（8分）
（2）由（1）知，S_△EAF=

1

2

AE×AF×sin∠EAF=

2

4

AE×AF=

2

4

×

1

cosαcosβ

=

2

4

×

1

cosαcos( π 4 -α)

=

1

sin2α+2cos2α

=

1

2 sin(2α+ π 4 )+1

…（12分）
∵0＜α＜

π

4

，∴2α+

π

4

=

π

2

，即α=

π

8

時(shí)，△EAF的面積最小，最小面積為

2

-1．
∵tan

π

4

=

2tan π 8

1-tan2 π 8

，∴tan

π

8

=

2

-1，故此時(shí)BE=DF=

2

-1．
所以，當(dāng)BE=DF=

2

-1時(shí)，△EAF的面積最�。�…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查和角公式的運(yùn)用，考查面積的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．