設(shè)函數(shù)y=f（x）定義在R上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1
（1）求證：f（0）=1 且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1
（2）求證：f（x）在R上是減函數(shù)．
證明：（1）∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），
∵當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．
∴f（0）=1．
令m=x＜0，n=-x＞0，
則f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，
∴f（-x）f（x）=1，
又∵-x＞0時(shí)，0＜f（-x）＜1，
∴f(x)=
1
f(-x)
＞1．
（2）設(shè)x1＜x2，則x1-x2＜0，
根據(jù)（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f(x)=ax+
1x+b
(a≠0)的圖象過點(diǎn)（0，-1）且與直線y=-1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線y=x和直線x=1的垂線，垂足分別是M，N．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心Q；
（3）證明：線段PM，PN長度的乘積PM•PN為定值；并用點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0表示四邊形QMPN的面積．．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
1x+b
(a，b∈Z)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）證明：函數(shù)y=f（x）的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心；
（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某服裝批發(fā)商場經(jīng)營的某種服裝，進(jìn)貨成本40元/件，對(duì)外批發(fā)價(jià)定為60元/件．該商場為了鼓勵(lì)購買者大批量購買，推出優(yōu)惠政策：一次購買不超過50件時(shí)，只享受批發(fā)價(jià)；一次購買超過50件時(shí)，每多購買1件，購買者所購買的所有服裝可在享受批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上，再降低0.1元/件，但最低價(jià)不低于50元/件．
（1）問一次購買多少件時(shí)，售價(jià)恰好是50元/件？
（2）設(shè)購買者一次購買x件，商場的利潤為y元（利潤=銷售總額-成本），試寫出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式．并說明在售價(jià)高于50元/件時(shí)，購買者一次購買多少件，商場利潤最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某公司將進(jìn)一批單價(jià)為7元的商品，若按每個(gè)10元銷售，每天可賣出100個(gè)；若每個(gè)商品的銷售價(jià)上漲1元，則每天的銷售量就減少10個(gè)．
（1）設(shè)每個(gè)商品的銷售價(jià)上漲x元（x≥0，x∈N），每天的利潤為y元，試寫出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，并指明函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)每個(gè)商品的銷售價(jià)定為多少時(shí)，每天的利潤最大？并求出此最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某服裝批發(fā)商場經(jīng)營的某種服裝，進(jìn)貨成本40元/件，對(duì)外批發(fā)價(jià)定為60元/件．該商場為了鼓勵(lì)購買者大批量購買，推出優(yōu)惠政策：一次購買不超過50件時(shí)，只享受批發(fā)價(jià)；一次購買超過50件時(shí)，每多購買1件，購買者所購買的所有服裝可在享受批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上，再降低0.1元/件，但最低價(jià)不低于50元/件．
（Ⅰ）問一次購買150件時(shí)，每件商品售價(jià)是多少？
（Ⅱ）問一次購買200件時(shí)，每件商品售價(jià)是多少？
（Ⅲ）設(shè)購買者一次購買x件，商場的售價(jià)為y元，試寫出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式．

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同步練習(xí)冊答案