Question

要制作一個如圖的框架（單位：米），要求所圍成的總面積為19.5（米²），其中ABCD是一個矩形，EFCD是一個等腰梯形，梯形高h=

1

2

AB，tan∠FED=

3

4

，設AB=x米，BC=y米．
（Ⅰ）求y關(guān)于x的表達式；
（Ⅱ）如何設計x，y的長度，才能使所用材料最少？

Answer 1

分析：（1）依題意可表示出梯形的高，和底邊長，進而可得表示面積，可建立x，y的關(guān)系式，化為函數(shù)式即可；（2）RT△DEH中，可表示出DE，進而可得l=2y+6x=

39

x

+

13

3

x，由基本不等式可得答案．

解答：解：（1）如圖，等腰梯形EFCD中，DH是高，

依題意：DH=

1

2

AB=

1

2

x，EH=

DH

tan∠FED

=

4

3

×

1

2

x=

2

3

x，
∴

39

2

=xy+

1

2

（x+x+

4

3

x）

1

2

x=xy+

5

6

x2，∴y=

39

2x

-

5

6

x，
∵x＞0，y＞0，∴

39

2x

-

5

6

x＞0，解得0＜x＜

3 65

5

，
∴所求的表達式為：y=

39

2x

-

5

6

x，（0＜x＜

3 65

5

）
（2）在RT△DEH中，∵tan∠FED=

3

4

，∴sin∠FED=

3

5

，
∴DE=

DH

sin∠FED

=

1

2

x×

3

5

=

5

6

x，
∴l(xiāng)=（2x+2y）+2×

5

6

x+（2×

2

3

x+x）=2y+6x
=

39

x

-

5

3

x+6x=

39

x

+

13

3

x≥2

39 x × 13 3 x

=26，
當且僅當

39

x

=

13

3

x，即x=3時取等號，此時y=

39

2x

-

5

6

x=4，
∴AB=3米，BC=4米時，用材料最少

點評：本題考查求函數(shù)解析的方法，涉及基本不等式的應用，屬中檔題．