Question

要制作一個(gè)如圖的框架（單位：米），要求所圍成的面積為6米²，其中ABCD是一個(gè)矩形，EFCD是一個(gè)等腰梯形，EF=3CD，tan∠FED=，設(shè)AB=x米，BC=y米．
（1）求y關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）如何設(shè)計(jì)x，y的長度，才能使所用材料最少？

Answer 1

【答案】分析：（1）求出梯形的面積，利用所圍成的面積為6米²，即可求出y關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）設(shè)整個(gè)框架用料為l米，則l=（2x+y）+3x+2，利用基本不等式，即可求得所用材料最少．
解答：解：（1）如圖，等腰梯形CDEF中，DH是高，則EH=AB=x，DH=EH•tan∠FED=
∴=6，
∴y=
∵x＞0，y＞0
∴＞0，∴0＜x＜2
∴y關(guān)于x的表達(dá)式為y=（0＜x＜2）
（2）設(shè)整個(gè)框架用料為l米
Rt△DEH中，∵tan∠FED=，∴cos∠FED=，
∴
∴l(xiāng)=（2x+y）+3x+2=≥
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號
此時(shí)y==
∴AB=米，BC=米時(shí)，所用材料最少．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)解析式．