Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，點(diǎn)M在邊BC上，△AMC₁是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求證點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求C到平面AMC₁的距離；
（Ⅲ）求二面角M-AC₁-C的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)等腰直角三角形，可得AM⊥C₁M且AM=C₁M，根據(jù)三垂線定理可知AM⊥CM，而底面ABC為邊長為a的正三角形，則即可證得點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)；
（Ⅱ）過點(diǎn)C作CH⊥MC₁，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AM⊥平面C₁CM，CH⊥平面C₁AM，則CH即為點(diǎn)C到平面AMC₁的距離，根據(jù)等面積法可求出CH的長；
（Ⅲ）過點(diǎn)C作CI⊥AC₁于I，連HI，根據(jù)三垂線定理可知HI⊥AC₁，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠CIH是二面角M-AC₁-C的平面角，在直角三角形ACC₁中利用等面積法可求出CI，即可求出二面角M-AC₁-C的大小．
解答：解：（Ⅰ）∵△AMC₁為以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴AM⊥C₁M且AM=C₁M
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴CC₁⊥底面ABC
∴C₁M在底面內(nèi)射影為CM，AM⊥CM．
∵底面ABC為邊長為a的正三角形，
∴點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)
（Ⅱ）過點(diǎn)C作CH⊥MC₁，由（Ⅰ）知AM⊥C₁M且AM⊥CM，
∴AM⊥平面C₁CM∵CH在平面C₁CM內(nèi)，
∴CH⊥AM，
∴CH⊥平面C₁AM
由（Ⅰ）知，
∴
∴
∴點(diǎn)C到平面AMC₁的距離為底面邊長為
（Ⅲ）過點(diǎn)C作CI⊥AC₁于I，連HI，
∵CH⊥平面C₁AM，
∴HI為CI在平面C₁AM內(nèi)的射影，
∴HI⊥AC₁，∠CIH是二面角M-AC₁-C的平面角，
在直角三角形ACC₁中，

∴∠CIH=45°，
∴二面角M-AC₁-C的大小為45°
點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)線的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到平面的距離和二面角的度量，同時(shí)考查了空間想象能力和計(jì)算能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．