Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n-a_n+1=a_n+1a_n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{1}{a_n}$，且b₁+b₂+…+b₁₀=65，則a_n=$\frac{1}{n+1}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a_n-a_n+1=a_n+1a_n（n∈N^*），$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，可得b_n+1-b_n=1，再利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n-a_n+1=a_n+1a_n（n∈N^*），∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
即b_n+1-b_n=1，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，公差為1，又b₁+b₂+…+b₁₀=65，
∴10b₁+$\frac{10×9}{2}$×1=65，解得b₁=2．
∴b_n=2+（n-1）=n+1=$\frac{1}{{a}_{n}}$，解得a_n=$\frac{1}{n+1}$．
故答案為：$\frac{1}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．