（1）已知f（x）=x2-1，g（x）=
1-x，x＞0
2-x，x＜0
，求f[g（x）]和g[f（x）]的表達(dá)式．
（2）已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且f（x）=2f（
1
x
）
x
-1，求f（x）的表達(dá)式．
分析：（1）因g（x）分段函數(shù)，故分x＞0和x＜0兩種情況，把對應(yīng)g（x）代入f（x）求f[g（x）]；當(dāng)求g[f（x）]時分f（x）＞0和f（x）＜0兩種情況，并求出對應(yīng)的x的范圍，再把f（x）代入g（x），最后都用分段函數(shù)表示．
（2）由方程的特點(diǎn)令x=
1
x
，代入已知的方程得到另外一個關(guān)于f（x）和f（
1
x
）的方程，再把f（
1
x
）原來的方程求出f（x）．
解答：解：（1）當(dāng)x＞0時，g（x）=x-1，
故f[g（x）]=（x-1）2-1=x2-2x；
當(dāng)x＜0時，g（x）=2-x，
故f[g（x）]=（2-x）2-1=x2-4x+3；
∴f[g（x）]=
x2-2x，x＞0
x2-4x+3，x＜0
，
當(dāng)x＞1或x＜-1時，f（x）＞0，
故g[f（x）]=f（x）-1=x2-2；
當(dāng)-1＜x＜1時，f（x）＜0，
故g[f（x）]=2-f（x）=3-x2．
∴g[f（x）]=
x2-2，x＞1或x＜-1
3-x2，-1＜x＜1

（2）由題意知f（x）=2f（
1
x
）
x
-1，用
1
x
代替x，得f（
1
x
）=2f（x）
1
x
-1，
將f（
1
x
）=
2f(x)
x
-1代入f（x）=2f（
1
x
）
x
-1中，
即f（x）=2×（
2f(x)
x
-1）
x
-1，
求得f（x）=
2
3
x
+
1
3
．
點(diǎn)評：本題考查了求函數(shù)的解析式的方法，分別用了代入法和列方程法，對于分段函數(shù)要根據(jù)自變量的范圍代入對應(yīng)的關(guān)系式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）的定義域為x∈R且x≠1，已知f（x+1）為奇函數(shù)，當(dāng)x＜1時，f（x）=2x2-x+1，那么，當(dāng)x＞1時，f（x）的遞減區(qū)間是（　�。�
A、[
5
4
，+∞)
B、[1，
5
4
]
C、[
7
4
，+∞)
D、(1，
7
4
]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；
（2）已知f（x）滿足2f（x）+f（
1x
）=3x，求f（x）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x，則函數(shù)g（x）=f（2x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)；
②對于函數(shù)f(x)=x
1
2
的定義域中任意的x1、x2（x1≠x2）必有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
③已知f（x）=|2-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，對任意x、y∈R滿足關(guān)系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時f（x）•g（x）≠0．則函數(shù)f（x）、g（x）都是奇函數(shù)．
其中正確命題的序號是
①③
①③
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x．
（1）已知f（x）滿足下面兩個條件，求a的取值范圍．
①在（-∞，1]上存在極值，
②對于任意的θ∈R，c∈R直線l：xsinθ+2y+c=0都不是函數(shù)y=f（x）（x∈（-1，+∞））圖象的切線；
（2）若點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））從左到右依次是函數(shù)y=f（x）圖象上三點(diǎn)，且2x2=x1+x3，當(dāng)a＞0時，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面積的最大值；若不能，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知f（x）=2+log4x（1≤x≤16），求函數(shù)g（x）=[f（x）]2+f（x2）的值域．
（2）若直線y=4a與y=|ax-2|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案