Question

已知函數(shù)g（x）=

x

lnx

，f（x）=g（x）-ax（a＞0）．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）在第（2）題的條件下，又?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)g′(x)=

lnx-x• 1 x

(lnx)2

=

lnx-1

(lnx)2

，可得當(dāng)x＞e時(shí)，g'（x）＞0，進(jìn)而求出函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（2）因?yàn)閒（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，故f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）_max≤0，又因?yàn)?span id="ledclei" class="MathJye">f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0，故當(dāng)

1

lnx

=

1

2

，即x=e²時(shí)，求出f′（x）_max，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的最小值即可；
（3）命題“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，求出f′（x）_max+a=

1

4

，故問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤

1

4

，然后分類討論，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)g′(x)=

lnx-x• 1 x

(lnx)2

=

lnx-1

(lnx)2

，
當(dāng)x＞e時(shí)，g'（x）＞0，
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（e，+∞）；
（2）因?yàn)閒（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
故f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）_max≤0，
又因?yàn)楣?span id="5omv5en" class="MathJye">f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0，
故當(dāng)

1

lnx

=

1

2

，即x=e²時(shí)，f′（x）_max=

1

4

-a，
所以

1

4

-a≤0，于是a≥

1

4

，
故a的最小值為

1

4

；
（3）命題“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”等價(jià)于
“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，
由（1）得，當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，f′（x）_max=

1

4

-a，
則f′（x）_max+a=

1

4

，
故問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤

1

4

，
當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，
則f（x）_min=f（e²）=

e2

2

-ae2≤

1

4

，
所以a≥

1

2

-

1

4e2

，
a≤0，f′（x）≥0在[e，e²]恒成立，故f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
于是，f（x）_min=f（e）=e-ae≥e＞

1

4

，不合題意，
0＜a＜

1

4

時(shí)，由f′（x）的單調(diào)性和值域知，存在唯一x₀∈（e，e²），使f′（x₀）=0，
當(dāng)x∈（e，x₀）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₀，e²）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為增函數(shù)；
∴f（x）_min=f（x₀），
∴a≥

1

lnx0

-

1

4x0

＞

1

lne

-

1

4e2

＞

1

4

，與0＜a＜

1

4

矛盾，
綜上，a≥

1

2

-

1

4e2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及求參數(shù)的范圍，屬于中檔題．