Question

已知函數(shù)f（x）=

3x-m

3x+1

是奇函數(shù)；
（1）求m的值；
（2）用定義證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=

3x-m

3x+1

是定義在實(shí)數(shù)集奇函數(shù)，得f（0）=0，從而求得m的值；
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明．

解答： （1）解：∵函數(shù)f（x）=

3x-m

3x+1

是奇函數(shù)，
∴f（0）=

30-m

30+1

=

1-m

2

=0，即m=1；
（2）證明：f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，
∴

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0．
故：f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．