Question

在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，．
（Ⅰ）若向量∥求滿足的角B的值；
（Ⅱ）若，試用角B表示角A與C；
（Ⅲ）若，且，求cosB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)和向量的平行關(guān)系，寫出三條邊的關(guān)系，代入角B的余弦定理，利用均值不等式表示出角B的余弦的取值范圍，根據(jù)求角B的值．
（Ⅱ）根據(jù)角A與角B的差是，還有兩角之和是π-B，得到角A和角B的關(guān)系，即得到關(guān)于他們的二元一次方程，解方程組得到結(jié)果．本題只起到一個(gè)鋪墊作用．
（Ⅲ）根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積的值，得到邊之間的關(guān)系，a+c=2b，利用正弦定理把變化為角和第二問所得的結(jié)論，展開整理，得到關(guān)于角B的三角函數(shù)值．
解答：解：（Ⅰ）∵，，，
∴b²=ac，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，
∵0＜B＜π，∴．
由
得：，
∵，
∴．
（Ⅱ）在△ABC中，∵
（Ⅲ）∵，
∴a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
由及（Ⅱ）的結(jié)論得：
∴，
展開化簡(jiǎn)，得，
∵，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正弦定理和余弦定理，同角的三角函數(shù)關(guān)系，是一個(gè)綜合題，也是近幾年經(jīng)常出現(xiàn)的一種問題．