Question

11．如圖，AB為圓O的直徑，過點B作圓O的切線，任取圓O上異于A，B的一點E，連接AE并延長交BC于點C，過點E作圓O的切線，交邊BC于一點D．
（1）求$\frac{BD}{CD}$的值；
（2）連接OD交圓O于一點M，求證：2DE²=DM•AC+DM•AB．

Answer 1

分析 （1）連接BE、OE，由直徑所對的圓周角為直角，得到BE⊥EC，證明DC=DE=DB，即可得出結論；
（2）延長DO交圓O于點H，由（1）的結論證出DE為圓O的切線，從而得出DE²=DM•DH，再將DH分解為DO+OH，并利用OH=$\frac{1}{2}$AB和DO=$\frac{1}{2}$AC，化簡即可得到等式2DE²=DM•AC+DM•AB成立．

解答 （1）解：連接OE，BE，如圖，因為AB為圓O的直徑，所以∠AEB=90°，
又ED為圓O的切線，所以∠OED=90°，因為OE=OB，∴∠1=∠2，
又∠1=∠3=90°，∠2+∠EBD=90°，∠3=∠EBD，∴DB=DE，（2分）
同時∠3=∠BAC，∠DEC+∠3=90°，∠A+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DC=DE，
∴DC=DE=DB，∴$\frac{BD}{CD}$=1．（5分）
（2）證明：延長DO交圓O于點H．
∵DE⊥OE，OE是半徑，∴DE為圓O的切線．
由圓的切割線定理可得DE²=DM•DH
=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，（7分）
所以DE²=DM•$\frac{1}{2}$AC+DM•$\frac{1}{2}$AB，
所以2DE²=DM•AC+DM•AB．（10分）

點評 本題著重考查了圓的切線的性質(zhì)定理與判定、直徑所對的圓周角、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．