Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)

（1）若函數(shù)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)且，滿足,，求證．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可知，無零點(diǎn)等價(jià)于不存在實(shí)數(shù)，使得，因此考慮通過求導(dǎo)來求函數(shù)的值域：，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，∴的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021206034390514373/SYS201502120603514522667877_DA/SYS201502120603514522667877_DA.016.png">，從而實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）由題意可知，，

從而問題等價(jià)于求證函數(shù)圖象關(guān)于直線的不對稱性，即等價(jià)于求證時(shí)，，通過構(gòu)造輔助函數(shù)通過求導(dǎo)即可得證．

試題解析：（1）令，∴，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，∴的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021206034390514373/SYS201502120603514522667877_DA/SYS201502120603514522667877_DA.016.png">，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）由（1）可知，，∵，

∴，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴不妨設(shè)，

，令，設(shè)，

∴，令，

∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，

即當(dāng)時(shí)，，，故，

∴，，又∵，，，∴，

∴．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用．