Question

在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P為線段AB上的點(diǎn)，且，則xy的最大值為________．

Answer 1

3
分析：由條件求得bccosA=9，bcsinA=6，tanA=，可得c=5，b=3，a=4，以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．設(shè) =，=，則=（x，y），可得x=3λ，y=4-4λ則4x+3y=12，利用基本不等式求解最大值．
解答：△ABC中，設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA．
∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0，C=90°．
∵=9，S_△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6，∴tanA=．
根據(jù)直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4．
以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．
P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得=λ+（1-λ）=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）．
設(shè) =，=，則||=||=1，且 =（1，0），=（0，1）．
∴=（x，0）+（0，y）=（x，y），可得x=3λ，y=4-4λ則4x+3y=12，
12=4x+3y≥2，解得xy≤3，
故所求的xy最大值為：3．
故答案為 3．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是理解把已知所給的是一個(gè)單位向量，從而可用x，y表示，建立x，y與λ的關(guān)系，解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由x=3λ，y=4-4λ發(fā)現(xiàn)4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最大值，屬于中檔題．