已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2+
y2
2
=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為-
2
的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．
證明：（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
橢圓C：x2+
y2
2
=1 ①，則直線AB的方程為：y=-
2
x+1 ②
聯(lián)立方程可得4x2-2
2
x-1=0，
則x1+x2=
2
2
，x1×x2=-
1
4

則y1+y2=-
2
（x1+x2）+2=1
設(shè)P（p1，p2），
則有：
0A
=（x1，y1），
0B
=（x2，y2），
0P
=（p1，p2）；
∴
0A
+
0B
=（x1+x2，y1+y2）=（
2
2
，1）；
0P
=（p1，p2）=-（
0A
+
0B
）=（-
2
2
，-1）
∴p的坐標(biāo)為（-
2
2
，-1）代入①方程成立，所以點(diǎn)P在C上．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．
設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
），即（
2
4
，
1
2
），
則過線段AB的中點(diǎn)且垂直于AB的直線方程為：y-
1
2
=
2
2
（x-
2
4
），即y=
2
2
x+
1
4
；③
∵P關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為Q，故0（0.0）為線段PQ的中點(diǎn)，
則過線段PQ的中點(diǎn)且垂直于PQ的直線方程為：y=-
2
2
x④；
③④聯(lián)立方程組，解之得：x=-
2
8
，y=
1
8

③④的交點(diǎn)就是圓心O1（-
2
8
，
1
8
），
r2=|O1P|2=（-
2
2
-（-
2
8
））2+（-1-
1
8
）2=
3
11
8

故過P Q兩點(diǎn)圓的方程為：（x+
2
8
）2+（y-
1
8
）2=
3
11
8
…⑤，
把y=-
2
x+1…②代入⑤，
有x1+x2=
2
2
，y1+y2=1
∴A，B也是在圓⑤上的．
∴A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1上的兩個焦點(diǎn)，A，B是過焦點(diǎn)F1的一條動弦，則△ABF2的面積的最大值為（　�。�
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知k∈R，當(dāng)k的取值變化時，關(guān)于x，y的方程4kx-4y=4-k2的直線有無數(shù)條，這無數(shù)條直線形成了一個直線系，記集合M={（x，y）|4kx-4y=4-k2僅有唯一直線}．
（1）求M中點(diǎn)（x，y）的軌跡方程；
（2）設(shè)P={（x，y）|y=2x+a，a為常數(shù)}，任取C∈M，D∈P，如果|CD|的最小值為
5
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F以及橢圓C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：x2+y2=1上．
（1）求拋物線C1和橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線C1于A，B兩不同點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，則λ1+λ2是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，-1），且右焦點(diǎn)Q到直線x-y+2
2
=0的距離為3．
（1）求橢圓方程；
（2）試問是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使l與橢圓M有兩個不同的交點(diǎn)B、C，且|AB|=|AC|？若存在，求出k的范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，短軸長為2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）從定點(diǎn)M（0，2）任作直線l與橢圓C交于兩個不同的點(diǎn)A、B，記線段AB的中點(diǎn)為P，試求點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）d的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4（
2
+1）．一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
3
+
y2
2
=1，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，若直線L過F與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且
AF
=2
FB
，則直線L的方程為：______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為4，若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，記直線PM、PN的斜率分別為KPM、KPN，當(dāng)KPM•KPN=-
1
4
時，則橢圓方程為（　　）
A．
x2
16
+
y2
4
=1		B．
x2
4
+
y2
2
=1		C．x2+
y2
4
=1		D．
x2
4
+y2=1

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同步練習(xí)冊答案