已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F以及橢圓C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：x2+y2=1上．
（1）求拋物線C1和橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線C1于A，B兩不同點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，則λ1+λ2是否為定值？若是，求出其值；若不是，說(shuō)明理由．
（1）由拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（
p
2
，0）在圓O：x2+y2=1上得：
p2
4
=1
∴p=2，
∴拋物線C1：y2=4x（3分）
同理由橢圓C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)（0，c），（0，-c）
及左、右頂點(diǎn)（-b，0），（b，0）均在圓O：x2+y2=1上可解得：b=c=1，
∴a=
2
．
得橢圓C2：x2+
y2
2
=1．（6分）
（2）λ1+λ2是定值，且定值為-1．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）則N（0，k）．
聯(lián)立方程組
y2=4x
y=k(x-1)
，消去y得：k2x2-（2k2+4）+k2=0，
∴△=16k2+16＞0，且
x1+x2=
2k2+4
k2
x1x2=1
，（9分）
由
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
得：λ1（1-x1）=x1，λ2（1-x2）=x2，
整理得：λ1=
x1
1-x1
，λ2=
x2
1-x2
，
λ1+λ2=
x1+x2-2x1x2
1-(x1+x2)+x1x2
=
2k2+4-2
k2
1-
2k2+4
k2
+1
=-1 （13分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知A（-3，0），B、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿足
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
2
CQ
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點(diǎn)，A′（3，0），求直線A′E、A′F的斜率之和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，
2
)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比為
2
：1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A，B．求證：直線AB的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動(dòng)點(diǎn)記為A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求證：直線AB過(guò)一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)；
②求|PA|+|PB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓C：（x+1）2+y2=16上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)M是DN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CN上，且
MP
•
DN
=0．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P表示的曲線E的方程；
（Ⅱ）若曲線E與x軸的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A，B不重合時(shí)，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1，k2，證明：k1•k2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2-y2=1．
（1）過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設(shè)橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2+
y2
2
=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為-
2
的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

直線l過(guò)x軸上的點(diǎn)M，l交橢圓
x2
8
+
y2
4
=1于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若M的坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)OA⊥OB時(shí)，求直線l的方程；
（2）若M的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），是否存直線l，使得l垂直平分橢圓的一條弦？如果存在，求k的取值范圍；如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

將曲線C1：(x-4)2+y2=4所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的
1
2
得到曲線C2，將曲線C2向左（x軸負(fù)方向）平移4個(gè)單位，得到曲線C3．
（Ⅰ）求曲線C3的方程；
（Ⅱ）垂直于x軸的直線l與曲線C3相交于C、D兩點(diǎn)（C、D可以重合），已知A（-2，0），B（2，0），直線AC、BD相交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)的軌跡方程．

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