Question

【題目】已知M是正四面體ABCD棱AB的中點，N是棱CD上異于端點C，D的任一點，則下列結論中，正確的個數有（　　）

（1）MN⊥AB；

（2）若N為中點，則MN與AD所成角為60°；

（3）平面CDM⊥平面ABN；

（4）不存在點N，使得過MN的平面與AC垂直．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】逐一考查所給的四個說法：

(1)連結MC，MD，由三角形三線合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，

∵MN平面MCD,∴AB⊥MN,故(1)正確；

(2)取BD中點E，連結ME，NE，則∠NME或其補角為MN與AD所成角，

連結BN,由(1)知BM⊥MN,設正四面體棱長為1,則，

,∴cos∠NME=,∴∠NME=45°,故(2)不正確；

(3)由(1)知AB⊥平面CDM,∵AB平面ABN,∴平面CDM⊥平面ABN,故(3)正確；

(4)取BC中點F，連結MF，DF，假設存在點N，使得過MN的平面與AC垂直，

∴AC⊥MN,∵MF∥AC，∴MF⊥MN，

∵DF=DM=,∴∠FMD<90°,很明顯∠CMF<90°.

當N從D向C移動時,∠FMN先減小,后增大,故∠FMN<90°，與MF⊥MN矛盾.

∴不存在點N,使得過MN的平面與AC垂直,故(4)正確.

本題選擇C選項.