【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AB和PD中點(diǎn)。
(1)求直線AF與EC所成角的正弦值;
(2)求PE與平面PDB所成角的正弦值。
【答案】(1);(2)
【解析】
(1) 作FM∥CD交PC于M,得出AF∥EM,∠MEC為直線AF與EC所成角或其補(bǔ)角,在直角三角形中即可得解.
(2) 運(yùn)用直線平面所成角的定義得出夾角,轉(zhuǎn)化為直角三角形中求解即可.
(1)作FM∥CD交PC于M.
∵點(diǎn)F為PD中點(diǎn),∴FM=CD.
∴AE=AB=FM,
∴AEMF為平行四邊形,∴AF∥EM,
∠MEC為直線AF與EC所成角或其補(bǔ)角。
EM=AF=,MC=,EC=,∴ΔMEC為RtΔMEC
sin∠MEC=
(2)連接AC,BD交于O,連接EG
∵點(diǎn)E,O分別為AB和AC中點(diǎn)。
∴AO∥EG,
∵AC⊥平面PBD,
∴EG⊥平面PBD,
根據(jù)直線與平面所成角的定義可得:∠EPG為PE與平面PDB所成角,
Rt△EGP中,AO=,EG=,
DE=,PE=,
∴sin∠EPG=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近幾年,京津冀等地數(shù)城市指數(shù)“爆表”,尤其2015年污染最重.為了探究車流量與的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如表:
時間 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期七 |
車流量(萬輛) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
的濃度(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)由散點(diǎn)圖知與具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)(ⅰ)利用(1)所求的回歸方程,預(yù)測該市車流量為8萬輛時的濃度;
(ⅱ)規(guī)定:當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi),空氣質(zhì)量等級為優(yōu);當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi),空氣質(zhì)量等級為良.為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良,則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)?(結(jié)果以萬輛為單位,保留整數(shù).)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn),N是棱CD上異于端點(diǎn)C,D的任一點(diǎn),則下列結(jié)論中,正確的個數(shù)有( 。
(1)MN⊥AB;
(2)若N為中點(diǎn),則MN與AD所成角為60°;
(3)平面CDM⊥平面ABN;
(4)不存在點(diǎn)N,使得過MN的平面與AC垂直.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD的邊長為4,PD=4,E為PA的中點(diǎn),
(1)求證:平面EBD⊥平面PAC;
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l經(jīng)過點(diǎn)F且與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)若線段AB的中點(diǎn)在直線y=2上,求直線l的方程;
(2)若線段|AB|=20,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲罐中有個紅球,個白球和個黑球,乙罐中有個紅球,個白球和個黑球。先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐,分別以和表示由甲罐取出的球是紅球,白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機(jī)取出一球,以表示由乙罐取出的球是紅球的事件,則下列結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號)。
①; ② 事件與事件相互獨(dú)立;③
④是兩兩互斥的事件;
⑤的值不能確定,因為它與中哪一個發(fā)生有關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.現(xiàn)給出如下結(jié)論:
①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0;
③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0.
其中正確結(jié)論的序號是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個水輪的半徑為4米,水輪圓心距離水面2米,已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈,如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)(圖中點(diǎn))開始計算時間.
(1)將點(diǎn)距離水面的高度(米)表示為時間(秒)的函數(shù);
(2)在水輪旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi),有多長時間點(diǎn)離開水面?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年1曰8日,中共中央、國務(wù)院隆重舉行國家科學(xué)技術(shù)獎勵大會,在科技界引發(fā)熱烈反響,自主創(chuàng)新正成為引領(lǐng)經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展的強(qiáng)勁動力.某科研單位在研發(fā)新產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新材料,由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值與這種新材料的含量(單位:克)的關(guān)系為:當(dāng)時, 是的二次函數(shù);當(dāng)時, .測得數(shù)據(jù)如表(部分)
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)其函數(shù)的最大值.
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