【題目】已知(為常數(shù)).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,求證: ;
(3)試討論函數(shù)零點的個數(shù).
【答案】(1)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)見解析(3)見解析
【解析】試題分析:(1)將參數(shù)值代入得到函數(shù)表達式,求導研究導函數(shù)的正負即可;(2)記,由題意即證,當時, ,對函數(shù)求導研究單調(diào)性求最值即可;(3)直接對函數(shù)求導,研究函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的變化趨勢,結(jié)合圖像討論函數(shù)的零點個數(shù)。
解析:
(1)解當時, ,所以(),
當時, ;當時, ;
故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)證明:記,
由題意即證,當時, .
又(),
記,則,
所以在上恒成立,則在上單調(diào)遞減,
,即證.
(3)由題意, ().
①若,則,故在上單調(diào)遞增,
又因為,且,
由零點存在性定理知, 在上有且只有一個零點.
②若,當, ,則在上單調(diào)遞增;
當, ,則在上單調(diào)遞減,
所以, 是在上的極大值點,也是最大值點, .
(i)當,即, 恒成立,則在上無零點;
(ii)當,即, ,則在上有一個零點;
(iii)當,即, ,
而當時,有,理由如下:令(),則,
所以在上單調(diào)遞增, ,即.
,由(2)知,而,
由在上的單調(diào)性及零點存在性定理可知, 分別在和上各有一個零點,即在上有兩個零點.
綜上所述,當或時, 在上有一個零點;
當時, 在上有兩個零點;
當時, 在上沒有零點..
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中, 兩兩垂直且相等,過的中點作平面∥,且分別交PB,PC于M、N,交的延長線于.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知復數(shù)z=,(m∈R,i是虛數(shù)單位).
(1)若z是純虛數(shù),求m的值;
(2)設是z的共軛復數(shù),復數(shù)+2z在復平面上對應的點在第一象限,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點,且離心率為.
()求橢圓的方程.
()已知雙曲線的離心率是橢圓的離心率的倒數(shù),其頂點為橢圓的焦點,求雙曲線的方程.
()設直線與雙曲線交于, 兩點,過的直線與線段有公共點,求直線的傾斜角的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學對男女學生是否喜愛古典音樂進行了一個調(diào)查,調(diào)查者對學校高三年級隨機抽取了100名學生,調(diào)查結(jié)果如表:
喜愛 | 不喜愛 | 總計 | |
男學生 | 60 | 80 | |
女學生 | |||
總計 | 70 | 30 |
附:K2=
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
(1)完成如表,并根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷是否有95%的把握認為“男學生和女學生喜歡古典音樂的程度有差異”;
(2)從以上被調(diào)查的學生中以性別為依據(jù)采用分層抽樣的方式抽取10名學生,再從這10名學生中隨機抽取5名學生去某古典音樂會的現(xiàn)場觀看演出,求正好有X個男生去觀看演出的分布列及期望.
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【題目】如圖所示是某條公共汽車路線收支差額y與乘客量x的圖象(收支差額=車票收入—支出費用)由于目前本條線路在虧損,公司有關(guān)人員提出了兩條建議:
建議(Ⅰ)是不改變車票價格,減少支出費用;建議(Ⅱ)是不改變支出費用,提高車票價格. 圖中虛線表示調(diào)整前的狀態(tài),實線表示調(diào)整后的狀態(tài). 在上面四個圖象中
A. ①反映了建議(Ⅱ),③反映了建議(Ⅰ) B. ①反映了建議(Ⅰ),③反映了建議(Ⅱ)
C. ②反映了建議(Ⅰ),④反映了建議(Ⅱ) D. ④反映了建議(Ⅰ),②反映了建議(Ⅱ)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點,短軸長為,點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓交于, 兩點, 為弦中點,求點的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】微信支付誕生于微信紅包,早期知識作為社交的一部分“發(fā)紅包”而誕生的,在發(fā)紅包之余才發(fā)現(xiàn),原來微信支付不僅可以用來發(fā)紅包,還可以用來支付,現(xiàn)在微信支付被越來越多的人們所接受,現(xiàn)從某市市民中隨機抽取300為對是否使用微信支付進行調(diào)查,得到下列的列聯(lián)表:
年輕人 | 非年輕人 | 總計 | |
經(jīng)常使用微信支付 | 165 | 225 | |
不常使用微信支付 | |||
合計 | 90 | 300 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),我們得到的統(tǒng)計學的結(jié)論是:由__________的把握認為“使用微信支付與年齡有關(guān)”。
|
| ||||
|
其中
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若, , ,求的極小值;
(3)設, .若函數(shù)存在兩個零點,且滿足,問:函數(shù)在處的切線能否平行于軸?若能,求出該切線方程,若不能,請說明理由.
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