(本題滿分12分)如圖所示,在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點E是棱CC1的中點。
 
(I)求三棱錐D1—ACE的體積;
(II)求異面直線D1E與AC所成角的余弦值;
(III)求二面角A—D1E—C的正弦值。

(I);(II)(III)

解析試題分析:(I)  …………3分
(II)取DD1的中點F,連結FC,則D1E//FC,
∴∠FCA即為異面直線D1E與AC
所成角或其補角。 …………5分

∴異面直線D1E與AC所成角的余弦值為…………7分
(III)過點D作DG⊥D1E于點G,連接AG,由AD⊥面D1DCC1
∴AD⊥D1E
又∵DG⊥D1E,∴D1E⊥面ADG
∴D1E⊥AG,則∠AGD為二面角A—D1E—C的平面角  ……9分
∵D1E·DG=DD1·CD,
 
二面角A—D1E—C的正弦值為…………12分
法二:(I)同法一   ………………3分
(II)以D為原點,分別以DA,DC,DD1為ox,oy,oz軸建立空間直角坐標系。

(III)顯然是平面D1DCE的法向量,
設平面D1AE的一個法向量為

二面角A—D1E—C的正弦值為…………12分
考點:棱錐的體積公式;異面直線所成的角;二面角。
點評:求異面直線所成的角,解題的關鍵是:首先正確的建立空間直角坐標系,然后可將異面直線所成的角轉化為所對應的向量的夾角或其補角;而對于利用向量法求線面角關鍵是正確求解平面的一個法向量。注意計算要仔細、認真。

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(2)平面.

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