(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐S - ABCD中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA ="AB=BC" =2,AD =1.M是棱SB的中點.

(Ⅰ)求證:AM∥面SCD;
(Ⅱ)求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點N是直線CD上的動點,MN與面SAB所成的角為,求sin的最大值,

(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.
(Ⅲ)時,.

解析試題分析:(Ⅰ)以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,


,,.
.
設(shè)平面SCD的法向量是

,則,于是.
,.
 AM∥平面SCD. …………………………(4分)
(Ⅱ)易知平面SAB的法向量為.設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為
,即.
平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.………………………(8分)
(Ⅲ)設(shè),則.
又,面SAB的法向量為
所以,.
.
,即時,.…………………………(12分)
考點:本題主要考查立體幾何中線面平行及角的計算,空間向量的應(yīng)用
點評:典型題,立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明及角的計算問題是高考中的必考題,通過建立適當?shù)淖鴺讼,可使問題簡化。

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)
如圖,在三棱錐P-ABC中,底面△ABC為等邊三角形,∠APC=90°,PB=AC=2PA=4,O為AC的中點。

(Ⅰ)求證:BO⊥PA;
(Ⅱ)判斷在線段AC上是否存在點Q(與點O不重合),使得△PQB為直角三角形?若存在,試找出一個點Q,并求的值;若不存在,說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,.于點,中點.

(1)用空間向量證明:AM⊥MC,平面⊥平面
(2)求直線與平面所成的角的正弦值;
(3)求點到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分16分)
如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,.以的中點為球心、為直徑的球面切于點

(1)求證:PD⊥平面
(2)求直線與平面所成的角的正弦值;
(3)求點到平面的距離.

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(本題滿分12分)如圖所示,在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點E是棱CC1的中點。
 
(I)求三棱錐D1—ACE的體積;
(II)求異面直線D1E與AC所成角的余弦值;
(III)求二面角A—D1E—C的正弦值。

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(本小題滿分12分)
正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、G分別是BC、C1D1的中點,如圖所示.

(1)求證:BD⊥A1C;
(2)求證:EG∥平面BB1D1D.

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如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點在線段上,平面.

(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.

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(本小題滿分14分) 如圖,在直三棱柱中,分別是、的中點,點上,
 
求證:(1)EF∥平面ABC;    
(2)平面平面

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P在對角線A1C1上,記二面角P-AB-C為α,二面角P-BC-A為β。

(1)當A1P:PC1=1:3時,求cos(α+β)的大小。
(2)點P是線段A1C1(包括端點)上的一個動點,問:當點P在什么位置時,α+β有最小值?

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