Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2014+1

]的值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得數(shù)列{a_n}是增數(shù)列，

1

an

＞0，

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法得到

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2014+1

=

1

a1

-

1

a2015

＜

1

a1

=1，從而得到[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2014+1

]=0．

解答： 解：∵a_n+1=a_n²+a_n，即a_n+1-a_n=a_n²＞0，a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是增數(shù)列，并且

1

an

＞0，
又∵a_n+1=a_n²+a_n，∴

1

an+1

=

1

an(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2014+1

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a2013

-

1

a2014

+

1

a2014

-

1

a2015

=

1

a1

-

1

a2015

＜

1

a1

=1，
∵a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，
∴a₂=1+1=2，a₃=4+2=6，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

=

1

2

+

1

3

=

5

6

，
∴[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2014+1

]=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．