Question

已知向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），若存在不為零的實數(shù)k和角α，使向量

c

=

a

+（sinα-3）•

b

，

d

=-k

a

+（sinα）

b

，且

c

⊥

d

，試求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系

專題：平面向量及應用

分析：根據(jù)題意，先求出 

a

2，

b

2，

a

•

b

 的值，由

c

•

d

=0得到4k=（sinx-

3

2

）²-

9

4

，利用二次函數(shù)的性質求得4k的最值，即可得到實數(shù)k的值域．

解答： 解：

a

2=4，

b

2=1，

a

•

b

=0，
由題意得：

c

•

d

=-k

a

2+sinα

a

•

b

-k（sinα-3）

a

•

b

+sinα（sinα-3）

b

2
=-4k+0+0+sinα（sinα-3）=0，
∴4k=（sinα-

3

2

） 2-

9

4

，
當sinα=1時，4k有最小值為-2，
當sinx=-1時，4k有最大值為4，故k最小值為-

1

2

，K的最大值為1，
綜上，實數(shù)k的取值范圍為[-

1

2

，1]

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，兩個向量坐標形式的運算，以及二次函數(shù)的最值的求法．