Question

已知函數(shù)f（x）=

m-g(x)

1+g(x)

是定義在R上的奇函數(shù)，其中y=g（x）為指數(shù)函數(shù)且過點（2，4）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，若對任意的t∈（0，3]，不等式f（t²+2t-k）+f（-2t²+1）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)g（x）=a^x（a＞0且a≠1），把點（2，4）代入求出a，再代入f（x），有奇函數(shù)的結(jié)論f（0）=0求出m的值，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，將原不等式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)自變量的不等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)g（x）=a^x（a＞0且a≠1），
因為過點（2，4），所以g（2）=4，即a²=4，解得a=2，
則g（x）=2^x，所以f（x）=

m-g(x)

1+g(x)

=

m-2x

1+2x

，
因為函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，則m-1=0，解得m=1，
則f(x)=

1-2x

1+2x

；
（Ⅱ）由f（t²+2t-k）+f（-2t²+1）＞0得，f（t²+2t-k）＞-f（-2t²+1），
因為函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（t²+2t-k）＞f（2t²-1），
因為f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以t²+2t-k＜2t²-1對任意的t∈（0，3]恒成立，
即k＞-t²+2t+1=-（t-1）²+2在t∈（0，3]上恒成立，
因為函數(shù)y=-（t-1）²+2在t∈（0，3]上最大值是2，
所以k＞2．

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的解析式，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的單調(diào)性等，屬于中檔題．