Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²-2x-2），其中a∈R，e為常數(shù)，e≈2.718．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（-1，f（-1））處的切線與直線3x+ey+2=0平行，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＞0時，求函數(shù)f（|sinx|）的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=e^x（ax²-2x-2）+e^x（2ax-2）=e^x（ax²-（2-2a）x-4），從而可得f′（-1）=e^-1（a+（2-2a）-4）=-3•e^-1，從而求得a=1；再求極值；
（Ⅱ）當a＞0時，f′（x）=e^x（ax²-（2-2a）x-4）=e^x（x+2）（ax-2），討論a以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（ax²-2x-2），
∴f′（x）=e^x（ax²-2x-2）+e^x（2ax-2）
=e^x（ax²-（2-2a）x-4），
故f′（-1）=e^-1（a+（2-2a）-4）=-3•e^-1，
故a=1；
故f（x）=e^x（x²-2x-2），
f′（x）=e^x（x²-4）=e^x（x+2）（x-2）；
故f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）上是增函數(shù)，
在（-2，2）上是減函數(shù)；
故函數(shù)f（x）在x=-2處有極大值f（-2）=

6

e2

；
在x=2處有極小值f（2）=-2e²；
（Ⅱ）當a＞0時，f′（x）=e^x（ax²-（2-2a）x-4）
=e^x（x+2）（ax-2），
當0＜a≤2時，f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
故f（|sinx|）的最小值為f（1）=e（a-4）；
當a＞2時，f（x）在[0，

2

a

]上是減函數(shù)，[

2

a

，1]上是增函數(shù)，
故f（|sinx|）的最小值為f（

2

a

）=e

2

a

（

4

a

-

4

a

-2）=-2e

2

a

．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．