Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，關(guān)于數(shù)列{a_n}有下列三個(gè)命題：
①若{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an=an+1(n∈N*)；
②若Sn=an2+bn(a 、 b∈R)，則{a_n}是等差數(shù)列；
③若S_n=2-2a_n，則{a_n}是等比數(shù)列．
這些命題中，真命題的序號(hào)是

①，②，③

．

Answer 1

分析：利用前n項(xiàng)和公式求解通項(xiàng)公式，并驗(yàn)證n=1時(shí)，是否適合，n=1時(shí)∵a₁=s₁；n＞1時(shí)，a_n=s_n-s_n-1，再根據(jù)等差、等比數(shù)列定義判斷．

解答：解：∵數(shù)列{a_n}既是等差又是等比，a_n+1-a_n=d，

an+1

an

=q，∵

an+1

an

=1+

d

an

=q，d、q都是常數(shù)，∴a_n為常數(shù)，∴①√；
∵a₁=s₁=a+b，n＞1，a_n=s_n-s_n-1=2an-a+b，∴n≥1，a_n=2an-a+b，
∵a_n+1-a_n=2a（n+1）-a+b-2an+a-b=2a（常數(shù)），∴{a_n}為等差數(shù)列，②√；
∵a₁=s₁=

2

3

，a₁+a₂=2-2a₂⇒a₂=

4

9

，∴

a2

a1

=

2

3

，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=2-2a_n-2+2a_n-1，∴3a_n=2a_n-1⇒

an

an-1

=

2

3

∴{a_n}為等比數(shù)列，③√
故答案是①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明，利用前n項(xiàng)和求解通項(xiàng)公式時(shí)，要驗(yàn)證n=1時(shí)是否適合．