Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的上頂點為P（0，1），過C的焦點且垂直長軸的弦長為1．若有一菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C上，該菱形對角線BD所在直線的斜率為-1．
（1）求橢圓∑的方程；
（2）當直線BD過點（1，0）時，求直線AC的方程；
（3）當∠ABC=時，求菱形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，b=1，解，得|y|=，所以，由此能求出橢圓E的方程．
（2）直線BD：y=-1×（x-1）=-x+1，設AC：y=x+b，由方程組得，再由根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質能推導出AC的方程．
（3）因為四邊形ABCD為菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積，由AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=，能推導出當且僅當b=0時，菱形ABCD的面積取得最大值．
解答：解：（1）依題意，b=1，
解，得|y|=，
所以，a=2，
橢圓E的方程為．
（2）直線BD：y=-1×（x-1）=-x+1，
設AC：y=x+b，
由方程組得，
當時，
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）的中點坐標為=-，，
ABCD是菱形，所以AC的中點在BD上，所以
解得，滿足△=5-b²＞0，所以AC的方程為y=x-．
（3）因為四邊形ABCD為菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積，
由（2）可得AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₂）²=2，
AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=2×=，
因為，所以當且僅當b=0時，菱形ABCD的面積取得最大值，最大值為．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要靈活運用根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質，結合橢圓的性質注意合理地進行等價轉化．