Question

4．設(shè)a為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的實半軸長，則（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開式中的常數(shù)項等于-160．

Answer 1

分析 求出a的值，利用二項展開式的通項公式進行求解即可．

解答 解：∵a為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的實半軸長，
∴a=2，
則（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶=[$\frac{（2x-1）}{\sqrt{x}}$]⁶=$\frac{（2x-1）^{6}}{{x}^{3}}$=$\frac{（1-2x）^{6}}{{x}^{3}}$，
（1-2x）⁶開式中的x³項為${C}_{6}^{3}（-2x）^{3}$=-160x³，
則（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開式中的常數(shù)項等于-160．
故答案為：-160．

點評 本題主要考查二項展開式的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線的方程求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．