Question

19．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=c，|$\overrightarrow{AC}$|=b．
（Ⅰ）若b=3，c=5，sinA=$\frac{4}{5}$，求|$\overrightarrow{BC}$|；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{BC}$|=2，$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為$\frac{π}{3}$，則當(dāng)|$\overrightarrow{AB}$|取到最大值時(shí)，求△ABC外接圓的面積．

Answer 1

分析 （1）求出cosA，利用余弦定理得出a；
（2）利用正弦定理得出外接圓半徑，從而得出外接圓的面積．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sinA=$\frac{4}{5}$，∴cosA=$±\frac{3}{5}$．
由余弦定理得：|$\overrightarrow{BC}$|²=a²=b²+c²-2bccosA=9+25±18．
∴a²=16或52．
∴|$\overrightarrow{BC}$|=4或2$\sqrt{13}$．
（2）由題意可知A=$\frac{π}{3}$，a=2．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=2R$，∴R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴△ABC的外接圓的面積S=$π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．