Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1和圓x²+y²=4，過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A的兩條直線分別交橢圓與圓于點(diǎn)B，E和點(diǎn)C，F(xiàn)，若AC⊥AF，直線BE和CF在x軸上的截距分別為s，t，求證：s+t為定值．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+2），由于AB⊥AE，可得直線AE的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+2）．分別與橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn)B，E的坐標(biāo)，可得直線BE的方程，即可解得．由于AC⊥AF，可得CF必然經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可得t=0．

解答 證明：設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+2），∵AB⊥AE，∴直線AE的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+2）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得x_B=$\frac{2-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y_B=$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$．
同理可得：x_E=$\frac{2{k}^{2}-4}{2+{k}^{2}}$，y_E=$\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$．
∴直線BE的方程為：y+$\frac{4k}{{k}^{2}+2}$=$\frac{3{k}^{3}+3k}{2-2{k}^{4}}$$（x-\frac{2{k}^{2}-4}{2+{k}^{2}}）$，
令y=0，解得s=-$\frac{2}{3}$．
∵AC⊥AF，∴CF必然經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴t=0．
∴s+t=-$\frac{2}{3}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓相交問題、圓的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．