Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ) 證明：PA⊥BD；

(Ⅱ) 若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由余弦定理得 ，證得BD²+AD²= AB²，故BDAD;可得 BD PD

所以BD 平面PAD. 故 PABD

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071512283656037488/SYS201307151229100069124328_DA.files/image004.png">, 由余弦定理得 

從而BD²+AD²= AB²，故BDAD;又PD 底面ABCD，可得BD PD

所以BD 平面PAD. 故 PABD

（Ⅱ）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，則

,,,。

設(shè)平面PAB的法向量為n=（x,y,z），則,

 即

因此可取n=

設(shè)平面PBC的法向量為m，則

可取m=（0，-1，）        

故二面角A-PB-C的余弦值為 

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系、角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。