Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=（a+1）n²+a，某三角形三邊之比為a₂：a₃：a₄，則該三角形最大角為________．

Answer 1

120°
分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)分別求出a₁，a₂，進而表示出等差數(shù)列的公差d，由首項和公差表示出等差數(shù)列的前n項和公式，與已知的前n項和相等即可求出a的值，得到三角形三邊之比，設(shè)三角形的最大角為α，然后由余弦定理即可求出cosα的值，由α的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出三角形最大角α的度數(shù)．
解答：令n=1，得到a₁=S₁=2a+1，令n=2，得到a₁+a₂=S₂=5a+4，
所以a₂=3a+3，故公差d=（3a+3）-（2a+1）=a+2，
所以S_n=n（2a+1）+（a+2）=n²+（2a+1-）n=（a+1）n²+a，
得到a=0，所以等差數(shù)列的首項a₁=1，公差d=2，
所以三角形三邊之比為3：5：7，設(shè)最大的角為α，三邊分別為3k，5k，7k，
所以cosα==-，又α∈（0，180°），
則該三角形最大角α為120°．
故答案為：120°
點評：此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運用余弦定理及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一道中檔題．