Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）記，試判斷函數的極值點的情況；

（Ⅱ）若有且僅有兩個整數解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求導后可知的符號由的符號決定；根據的單調性，結合存在性定理可知存在唯一的，使得，從而得到得單調性，根據極值與單調性的關系可確定極值點；（Ⅱ）將所求不等式化為；當和時，根據（Ⅰ）的結論可驗證出都有無窮多個整數解，不合題意；當時，若，由時，可知無整數解，不合題意；若，可知，解不等式組求得結果.

（Ⅰ）由得：

設，則在上單調遞增

又，

存在唯一的，使得，即

當時，；當時，

在上單調遞減；在上單調遞增

為的極小值點，無極大值點

（Ⅱ）由得：，即

①當時，恒成立，有無窮多個整數解，不合題意

②當時，，

， 當時，由（Ⅰ）知：

有無窮多個整數解，即有無窮多個整數解，不合題意

③當時，

i.當時，，又

兩個整數解為：

，解得：

ii.當時，

當時，由（Ⅰ）知： 無整數解，不合題意

綜上所述：