Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)a＝時(shí)，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）設(shè)g(x)＝，若g(x)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．（2）．

【解析】

（1）求出，兩次求導(dǎo)，可判斷在區(qū)間恒成立，從而可得結(jié)果；（2）g(x)＝，x＞0，g(x)＝＋2ax，分四種情況討論，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，結(jié)合單調(diào)性與極值分別判斷是否符合題意，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（1）當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝，x＞0，

求導(dǎo)得，令p(x)=，則p(x)＝，

當(dāng)x＞1時(shí)，p(x)＜0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，p(x)＞0，

所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，

所以f(x)≤f(1)＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號成立，

所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．

（2）g(x)＝，x＞0，g(x)＝＋2ax，

①當(dāng)a≥0時(shí)，g(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>g(1)＝0，所以g(x)有唯一零點(diǎn).

②當(dāng)a＝時(shí)，g(x)＝，

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g(x)＜0，

則g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>g(1)＝0，所以g(x)有唯一零點(diǎn)．

③當(dāng)＜a＜0時(shí)，由g(x)＝0，得x＝＞1，

當(dāng)0＜x＜時(shí)，g(x)＞0，當(dāng)x＞時(shí)，g(x)＜0，

則g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，＋∞)上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>g(1)＝0，所以g()＞0，

由（1）可知，lnx≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號成立，

因?yàn)?/span>＞＞1（注：因?yàn)?/span>＜a＜0，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以＞＞1），

且，

所以g(x)在(，)上存在一個(gè)零點(diǎn)，

即g(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．

④當(dāng)a＜時(shí)，由g(x)＝0，得x＝＜1，

當(dāng)0＜x＜時(shí)，g(x)＞0，當(dāng)x＞時(shí)，g(x)＜0，

則g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，＋∞)上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>g(1)＝0，所以g()＞0，

令h(x)＝xex＋1，h(x)＝(x＋1)ex，

易知h(x)在上單調(diào)遞減，則在上h(x)＞＝1－＞0．

因?yàn)?/span>a＜，所以2a＜，所以h(2a)＝2ae2a＋1＞0，即ea＜＜1，

此時(shí)g(ea)＝＝ae2a＜0，

所以g(x)在(ea，)上存在一個(gè)零點(diǎn)，且g(1)＝0，

即g(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．

綜上所述，若g(x)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．