對(duì)于函數(shù),若存在
,使
,則稱
是
的一
個(gè)"不動(dòng)點(diǎn)".已知二次函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的不動(dòng)點(diǎn);
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)
恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求
的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若的圖象上
兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是
的不動(dòng)點(diǎn),
且兩點(diǎn)關(guān)于直線
對(duì)稱,求
的最小值.
(1)和
(2)
(3)
【解析】(1)將a、b代入函數(shù),根據(jù)條件“若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)”建立方程解之即可;
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)b,f(x)恒有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成對(duì)任意實(shí)數(shù)b,ax2+(b+1)x+b-1=x恒有兩個(gè)不等實(shí)根,再利用判別式建立a、b的不等關(guān)系,最后將b看成變量,轉(zhuǎn)化成關(guān)于b的恒成立問題求解即可.
(3)在(2)的條件下,可得由得
,由題意知
,
,從而可確定AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)
,從而可得
,整理后得
,這樣就轉(zhuǎn)化為b關(guān)于a的函數(shù)問題來解決即可.
解:(1),
是
的不動(dòng)點(diǎn),則
,
得或
,函數(shù)
的不動(dòng)點(diǎn)為
和
.……………… 3分
(2)∵函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),∴
恒有兩
個(gè)不等的實(shí)根,對(duì)
恒成立,
∴,得
的取值范圍為
. …………7分
(3)由得
,由題知
,
,
設(shè)中點(diǎn)為
,則
的橫坐標(biāo)為
,∴
,
∴,當(dāng)且僅當(dāng)
,即
時(shí)等號(hào)
成立,
∴的最小值為
.………………………… 12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆湖南省漣源一中高三第四次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
對(duì)于函數(shù) ,若存在
,使
成立,則稱
為
的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)
有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0,2,且
.
(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2) 已知數(shù)列各項(xiàng)不為零且不為1,滿足
,求證:
;
設(shè),
為數(shù)列
的前
項(xiàng)和,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖南省高三第四次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
對(duì)于函數(shù) ,若存在
,使
成立,則稱
為
的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)
有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0,2,且
.
(1)
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)
已知數(shù)列各項(xiàng)不為零且不為1,滿足
,求證:
;
設(shè),
為數(shù)列
的前
項(xiàng)和,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江西省高三第二次月考試卷理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分14分)對(duì)于函數(shù),若存在
,使
成立,則稱
為
的不動(dòng)點(diǎn)。如果函數(shù)
有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)
、
,且
。
(1)試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知各項(xiàng)均為負(fù)的數(shù)列滿足
,求證:
;
(3)設(shè),
為數(shù)列
的前
項(xiàng)和,求證:
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:云南省2010-2011學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)測(cè)試:函數(shù)(1) 題型:解答題
對(duì)于函數(shù),若存在
,使
成立,則稱
為
的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)
有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)
、
,且
.試求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
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