Question

已知橢圓的離心率是，且經(jīng)過點M（2，1），直線與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

Answer 1

解：（1）設橢圓的半焦距為c
∵橢圓的離心率是，∴，∴a=2b
又橢圓經(jīng)過點M（2，1），∴，解得a²=8，b²=2
∴橢圓的方程為
（2）將直線代入橢圓方程得x²+2mx+2m²-4=0
令△=4m²-4（2m²-4）＞0，∴-2＜m＜0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
當m=-1時，x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，∴AB的長為
點M（2，1）到直線x-2y-2=0 的距離為
∴△MAB的面積
（3）設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，△MAB的內(nèi)心是I，則
∵m＜0，∴∠AMB的平分線MI垂直于x軸
∴△MAB的內(nèi)心的橫坐標是2．
分析：（1）設橢圓的半焦距為c，利用橢圓的離心率是，可得a=2b，根據(jù)橢圓經(jīng)過點M（2，1），可得，從而有a²=8，b²=2，故可求橢圓的方程為
（2）將直線代入橢圓方程得x²+2mx+2m²-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則當m=-1時，x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，所以AB的長為，利用點到直線的距離公式可求得點M（2，1）到直線x-2y-2=0 的距離為，從而可求△MAB的面積．
（3）設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，△MAB的內(nèi)心是I，則，從而可知∠AMB的平分線MI垂直于x軸，故可△MAB的內(nèi)心的橫坐標．
點評：本題以橢圓的幾何性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，關鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，合理運用韋達定理．