Question

4．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=1，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）寫出a₂，a₃的值，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=0，b_n-b_n-1=log₃a_n（n≥2），求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）記T_n為數(shù)列{na_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的通項和前n項和的關系，結合等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求；
（2）b_n-b_n-1=log₃3^n-1=n-1（n≥2），由數(shù)列的恒等式b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…（b_n-b_n-1），由等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求；
（3）na_n=n•3^n-1，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求和．

解答 解：（1）a_n+1=2S_n+1，可得a₂=2a₁+1=3，
a₃=2（a₁+a₂）+1=2×（1+3）+1=9，
當n＞1時，a_n=2S_n-1+1，
相減可得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
即a_n+1=3a_n，因為$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，則a_n+1=3a_n，
所以{a_n}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，
則a_n=3^n-1；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=0，b_n-b_n-1=log₃a_n（n≥2），
即有b_n-b_n-1=log₃3^n-1=n-1（n≥2），
b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…（b_n-b_n-1）
=0+1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$；
顯然b₁=0符合上式，所以b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$；
（3）na_n=n•3^n-1，
前n項和T_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，
3T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
兩式相減可得，-2T_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3ⁿ，
化簡可得，T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{4}$+$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用數(shù)列的通項和前n項和的關系，以及數(shù)列的恒等式，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．