Question

14．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)p在直線A₁B₁上運(yùn)動(dòng)，且$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$λ\overrightarrow{{{A}_{1}B}_{1}}$（λ∈[0，1]）
（1）證明：無(wú)論λ取何值，總有AM⊥PM；
（2）當(dāng)λ取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角θ最小？并指出該角取最小值時(shí)點(diǎn)P所在的位置；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°？若存在，試確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}$=0，能證明無(wú)論λ取何值，總有AM⊥PN．
（2）求出平面ABC的一個(gè)法向量，利用向量法求出當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí)，θ取最小值，此時(shí)tanθ=2．
（3）求出$\overrightarrow{NM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）和平面PMN的一個(gè)法向量，利用向量法能求出不存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°．

解答 （1）證明：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$λ\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=λ（1，0，0）=（λ，0，0），
$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（λ，0，1），
$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}-λ，\frac{1}{2}，-1$），
∵$\overrightarrow{AM}=（0，1，\frac{1}{2}）$，∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}$=0+$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$=0，
∴無(wú)論λ取何值，總有AM⊥PN．
（2）解：∵$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），是平面ABC的一個(gè)法向量，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PN}$＞|=$\frac{|-1|}{\sqrt{（\frac{1}{2}-λ）^{2}+\frac{1}{4}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}}}$，
∴當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí)，θ取最小值，此時(shí)tanθ=2．
（3）解：存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°，
$\overrightarrow{NM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PMN的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，
取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2-2λ），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|2-2λ|}{\sqrt{9+（1+2λ）^{2}+（2-2λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化簡(jiǎn)，得4λ²+10λ+13=0，（*）
∵△=100-4×4×13=-108＜0，
∴方程（*）無(wú)解，
∴不存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角最小時(shí)點(diǎn)所在的位置的確定，考查是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°的判斷與求法，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維要求較高，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．