Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M-QB-C為30°，求線段PM與線段MC的比值t．

Answer 1

分析 （1）推導出四邊形BCDQ為平行四邊形，從而CD∥BQ．又QB⊥AD．從而BQ⊥平面PAD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標系．利用向量法能求出t的值．

解答 證明：（1）∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q為AD的中點．
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD..（4分）
解：（2）∵PA=PD，Q為AD的中點．∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD（6分）
如圖，以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標系．
則平面BQC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
Q（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0）．
設M（x，y，z），則$\overrightarrow{PM}$=（x，y，z-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{MC}$=（-1-x，$\sqrt{3}$-y，-z），
∵$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{MC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=t（-1-x）}\\{y=t（\sqrt{3}-y）}\\{z-\sqrt{3}=t（-z）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{t}{1+t}}\\{y=\frac{\sqrt{3}t}{1+t}}\\{z=\frac{\sqrt{3}}{1+t}}\end{array}\right.$．
在平面MBQ中，$\overrightarrow{QB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{t}{1+t}$，$\frac{\sqrt{3}t}{1+t}$，$\frac{\sqrt{3}}{1+t}$），
設平面MBQ的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}=-\frac{t}{1+t}x+\frac{\sqrt{3}t}{1+t}y+\frac{\sqrt{3}}{1+t}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，0，t$），
∵二面角MBQC為30°，cos30°=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|t|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得t=3．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線段比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．