Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，-1），動(dòng)點(diǎn)G滿足：直線EG與直線FG的斜率之積為-$\frac{1}{2}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程；
（2）⊙O是以EF為直徑的圓，一直線l：y=kx+m與⊙O相切，并與動(dòng)點(diǎn)G的軌跡交于不同的兩點(diǎn)A，B．當(dāng)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$時(shí)，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的坐標(biāo)（x，y），求出直線EG的斜率，直線FG的斜率，利用已知條件求解即可．
（2）由圓O與直線l相切，知m²=k²+1，聯(lián)立直線與橢圓，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，得到k²＞0，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$時(shí)，求出k，即可求△AOB的面積．

解答 解：（1）已知E（0，1），F(xiàn)（0，-1），設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的坐標(biāo)（x，y），
∵動(dòng)點(diǎn)G滿足：直線EG與直線FG的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{y-1}{x}×\frac{y+1}{x}$=-$\frac{1}{2}$，即$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1（x≠0）$．
（2）∵圓O與直線l相切，∴$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即m²=k²+1，
聯(lián)立直線與橢圓，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$
∴k²=1，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{2（{k}^{4}+{k}^{2}）}{4（{k}^{4}+{k}^{2}）+1}}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分析問題解決問題的能力．