Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁∥平面ACE
（2）過(guò)直線BD₁是否存在與平面ACE平行的平面，若存在，請(qǐng)作出這個(gè)平面與長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的交線（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上用黑色碳素筆和直尺作圖），并證明這兩個(gè)平面平行；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，證明OE∥BD₁．通過(guò)直線與平面平行的判定定理證明BD₁∥平面ACE．
（2）取AA₁，CC₁中點(diǎn)M，N，連接MD₁，MB，BN，ND₁，利用面面平行的判定定理，可得結(jié)論．

解答：（1）證明：設(shè)AC∩BD=O，連接OE，
因?yàn)镋是DD₁的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，
所以O(shè)E∥BD₁．
又因?yàn)镺E?平面ACE，BD₁?平面ACE，
所以BD₁∥平面ACE．
（2）存在．
取AA₁，CC₁中點(diǎn)M，N，連接MD₁，MB，BN，ND₁，
因?yàn)镋是DD₁的中點(diǎn)，M是AA₁的中點(diǎn)，所以AE∥D₁E，
同理D₁N∥CE．
因?yàn)镈₁E，D₁N?平面D₁MBN，AE，CE?平面ACE，
所以平面ACE∥平面D₁MBN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面平行的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線面平行、面面平行的判定定理是關(guān)鍵．