Question

已知函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx+2．
（1）若x∈R，求函數(shù)的最大值和最小值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：注意sinx+cosx與sinx•cosx之間的關(guān)系，進(jìn)行換元可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次函數(shù)來解．

解答： 解：（1）令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
則2sinxcosx=t²-1，
則y=t²+t+1=（t+

1

2

）²+

3

4

，t∈[-

2

，

2

]，
故函數(shù)的圖象是拋物線，頂點在（-

1

2

，

3

4

），在[-

2

，-

1

2

]是單調(diào)遞減的，在[-

1

2

，

2

]是單調(diào)遞增的．
可得當(dāng)t=

2

時，其最大值y_max=（

2

+

1

2

）²+

3

4

=3+

2

，當(dāng)t=-

1

2

時，最小值y_min=

3

4

．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，則t∈[1，

2

]，
同理可得：此時y的最大值是3+

2

，而最小值是3．

點評：本題主要考查了兩角和公式的化簡求值，二次函數(shù)的性質(zhì)．此題考查的是換元法，轉(zhuǎn)化思想，在換元時要注意變量的取值范圍，屬于中檔題．