已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求此幾何體的體積的大小

(1)異面直線與所成的角的余弦值為．
(2)二面角的的正弦值為．
(3)幾何體的體積為16．

解析試題分析：(1)先確定幾何體中的棱長, ，通過取的中點(diǎn)，連結(jié)，
則，∴或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角． 在中即可解得的余弦值.
(2) 因?yàn)槎娼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/db/6/kpyoz.png" style="vertical-align:middle;" />的棱為，可通過三垂線法找二面角，由已知平面，過作交于，連．可得平面，從而，∴為二面角的平面角． 在中可解得角的正弦值.
（3）該幾何體是以為頂點(diǎn)，為高的，為底的四棱錐，所以
此外也可以以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系來解答.
試題解析：（1）取的中點(diǎn)是，連結(jié)，
則，∴或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角．
在中，，．∴．
∴異面直線與所成的角的余弦值為．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/61/2/a06vn1.png" style="vertical-align:middle;" />平面，過作交于，連．
可得平面，從而，
∴為二面角的平面角． 
在中，，，，
∴．∴．
∴二面角的的正弦值為．
（3），∴幾何體的體積為16．
方法2：（1）以為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）
，，∴，
∴異面直線與所成的角的余弦值為．
（2）平面

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面;
（2）求多面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知平面，四邊形是矩形，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求三棱錐的體積；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，求證：∥平面．

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已知正方體的棱長為.

（1）求異面直線與所成角的大��；
（2）求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形，且側(cè)面AA1C1C是邊長為2的正方形,E是的中點(diǎn),F在棱CC1上。

（1）當(dāng)CF時(shí)，求多面體ABCFA1的體積；
（2）當(dāng)點(diǎn)F使得A1F+BF最小時(shí)，判斷直線AE與A1F是否垂直，并證明的結(jié)論。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知梯形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，，．沿將梯形翻折，使平面⊥平面(如圖)．是的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：⊥ ；
（2）當(dāng)變化時(shí)，求三棱錐體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）設(shè)AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱錐C一A1DE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖是一個(gè)直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖.在直觀圖中,是的中點(diǎn).又已知側(cè)視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.

(Ⅰ)求證:EM∥平面ABC;
(Ⅱ)求出該幾何體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐中，是正方形，E是的中點(diǎn)，

(1)若，求 PC與面AC所成的角
(2) 求證：平面
(3) 求證：平面PBC⊥平面PCD

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