已知橢圓
x2
4
+
y2
2
=1的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓在第一象限內(nèi)的一點，并滿足
PF1
•
PF2
=1，過P作傾斜角互補的兩條直線PA，PB分別交橢圓于A，B兩點．
（Ⅰ）求P點坐標；
（Ⅱ）當直線PA經(jīng)過點（1，
2
）時，求直線AB的方程；
（Ⅲ）求證直線AB的斜率為定值．
（I）由橢圓
x2
4
+
y2
2
=1可得c=
2
，∴兩焦點分別為F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)．
設P（（x，y），由題意可得
x2
4
+
y2
2
=1
(-
2
-x，-y)•(
2
-x，-y)=1
x＞0，y＞0
，解得
x=
2
y=1
，∴P(
2
，1)．
（II）∵kPA=
1-
2
2
-1
=-1，兩條直線PA，PB傾斜角互補，
∴kPA+kPB=0，解得kPB=1．
因此直線PA，PB，的方程分別為y-1=-(x-
2
)，y-1=x-
2
，
化為x+y-
2
-1=0，x-y-
2
+1=0．
聯(lián)立
x+y-
2
-1=0
x2+2y2=4
，解得
x=
2
y=1
（舍去），
x=
2
+4
3
y=
2
2
-1
3
，即A(
2
+4
3
，
2
2
-1
3
)．
同理解得B(
2
-4
3
，-
1+2
2
3
)．
∴kAB=
-
1+2
2
3
-
2
2
-1
3
2
-4
3
-
2
+4
3
=
2
2
，∴直線AB的方程為y-
2
2
-1
3
=
2
2
(x-
2
+4
3
)，化為3
2
x-6y-4=0．
（III）S設A（x1，y1），B（x2，y2）．
設直線PA的方程為：y-1=k(x-
2
)，則直線PB的方程為y-1=-k(x-
2
)．
聯(lián)立
y-1=k(x-
2
)
x2+2y2=4
，解得A(
2
2
k2-4k-
2
1+2k2
，
-2k2-2
2
k+1
1+2k2
)．
同理B(
2
2
k2+4k-
2
1+2k2
，
-2k2+2
2
k+1
1+2k2
)，
∴kAB=
y2-y1
x2-x1
=
4
2
k
8k
=
2
2
．
即直線AB的斜率為定值
2
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x24
+y2=1的左、右兩個頂點分別為A，B，直線x=t（-2＜t＜2）與橢圓相交于M，N兩點，經(jīng)過三點A，M，N的圓與經(jīng)過三點B，M，N的圓分別記為圓C1與圓C2．
（1）求證：無論t如何變化，圓C1與圓C2的圓心距是定值；
（2）當t變化時，求圓C1與圓C2的面積的和S的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
4
+y2=1，過E（1，0）作兩條直線AB與CD分別交橢圓于A，B，C，D四點，已知kAB•kCD=-
1
4
．
（1）若AB的中點為M，CD的中點為N，求證：①kOM•kON=-
1
4
為定值，并求出該定值；②直線MN過定點，并求出該定點；
（2）求四邊形ACBD的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
4
+y2=1，弦AB所在直線方程為：x+2y-2=0，現(xiàn)隨機向橢圓內(nèi)丟一粒豆子，則豆子落在圖中陰影范圍內(nèi)的概率為
π-2
4π
π-2
4π
．
（橢圓的面積公式S=π•a•b，其中a是橢圓長半軸長，b是橢圓短半軸長）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•朝陽區(qū)三模）已知橢圓
x2
4
+y2=1的焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點，且∠F1PF2=90°，則點P的縱坐標可以是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x24
+y2=1，過點M（-1，0）作直線l交橢圓于A，B兩點，O是坐標原點．
（1）求AB中點P的軌跡方程；
（2）求△OAB面積的最大值，并求此時直線l的方程．

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