Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

1-bn

2

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，證明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）利用根與系數(shù)之間的關(guān)系先求出a₂，a₅的值，然后聯(lián)立方程求公差和首項(xiàng)，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用b_n與S_n的關(guān)系求{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）先求出c_n=a_n•b_n的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，然后證明不等式．

解答：解：（1）因?yàn)閍₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根且等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，
所以解得a₂=3，a₅=9，所以公差d=

a5-a2

5-2

=2，所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1=

1-b1

2

，解得b1=

1

3

，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=

1

2

(bn-1-bn)，
所以

bn

bn-1

=

1

3

(n≥2)，所以數(shù)列{b_n}是以b₁為首項(xiàng)，公比q=

1

3

的等比數(shù)列，
所以bn=b1qn-1=(

1

3

)n=

1

3n

．
（2）由（1）知，cn=anbn=

2n-1

3n

，則數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
則Tn=

1

3

+

3

32

+…+

2n-1

3n

  ①

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-1

3n+1

 ②
①-②得

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2 32 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

，
整理得Tn=1-

n+1

3n+1

，因?yàn)閚∈N^•，所以

n+1

3n+1

＞0，
故Tn=1-

n+1

3n+1

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題，要求熟練掌握錯(cuò)位相減法．