Question

15．以直線y=±$\sqrt{3}$x為漸近線的雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． 2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 討論雙曲線的焦點在x軸或y軸上，設出雙曲線的標準方程，求得漸近線方程，運用雙曲線的基本量的關系，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：當雙曲線的焦點在x軸上時，
設方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
可得漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
即有b=$\sqrt{3}$a，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2a，
離心率為e=$\frac{c}{a}$=2；
當雙曲線的焦點在y軸上時，
設方程為$\frac{{y}^{2}}{a{'}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{b{'}^{2}}$=1（a'，b'＞0），
可得漸近線方程為y=±$\frac{a'}{b'}$x，
由題意可得$\frac{a'}{b'}$=$\sqrt{3}$，
即有a'=$\sqrt{3}$b'，c'=$\sqrt{a{'}^{2}+b{'}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a'，
離心率為e=$\frac{c'}{a'}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
綜上可得離心率為2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程，考查分類討論的思想方法和運算能力，屬于中檔題．