Question

7．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）兩條漸近線的夾角為60°，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$或2
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)雙曲線方程求得漸近線的斜率進(jìn)而根據(jù)夾角是60°，求得$\frac{a}$的值，進(jìn)而根據(jù)c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$求得c，進(jìn)而離心率可得．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
漸近線斜率是±$\frac{a}$，而夾角是60°，
因?yàn)閮芍本�關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以和x軸夾角是30°或60°，
即$\frac{a}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或tan60°=$\sqrt{3}$，
若$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{1}{3}$a²=b²，
c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（負(fù)的舍去）；
若$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，b²=3a²，
c²=a²+b²=4a²，e²=4，
即e=2．
所以e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，或e=2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，主要是離心率的求法，注意兩直線的夾角問(wèn)題時(shí)要注意考慮兩個(gè)方面．