已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn).
(I)證明:-27<c<5;
(II)若存在實(shí)數(shù)c,使函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+2]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.
【答案】分析:(1)題目中:“有三個(gè)極值點(diǎn)”先轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問題,即f'(x)=x3+3x2-9x+c=0有三個(gè)互異的實(shí)0即可;
(2)存在性問題,由于f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,x1],[x2,x3],只需[a,a+2]是(-∞,x1]或[x2,x3]的子集即可.
解答:解:(I)因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn),
所以f'(x)=x3+3x2-9x+c=0有三個(gè)互異的實(shí)根.
設(shè)g(x)=x3+3x2-9x+c,則g'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),
當(dāng)x<-3時(shí),g'(x)>0,g(x)在(-∞,-3)上為增函數(shù);
當(dāng)-3<x<1時(shí),g'(x)<0,g(x)在(-3,1)上為減函數(shù);
當(dāng)x>1時(shí),g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上為增函數(shù);
所以函數(shù)g(x)在x=-3時(shí)取極大值,在x=1時(shí)取極小值.
當(dāng)g(-3)≤0或g(1)≥0時(shí),g(x)=0最多只有兩個(gè)不同實(shí)根.
因?yàn)間(x)=0有三個(gè)不同實(shí)根,所以g(-3)>0且g(1)<0.
即-27+27+27+c>0,且1+3-9+c<0,
解得c>-27,且c<5,故-27<c<5.
(II)由(I)的證明可知,當(dāng)-27<c<5時(shí),f(x)有三個(gè)極值點(diǎn).
不妨設(shè)為x1,x2,x3(x1<x2<x3),則f'(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3).
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,x1],[x2,x3]
若f(x)在區(qū)間[a,a+2]上單調(diào)遞減,
則[a,a+2]?(-∞,x1],或[a,a+2]?[x2,x3],
若[a,a+2]?(-∞,x1],則a+2≤x1.由(I)知,x1<-3,于是a<-5.
若[a,a+2]?[x2,x3],則a≥x2且a+2≤x3.由(I)知,-3<x2<1.
又f'(x)=x3+3x2-9x+c,當(dāng)c=-27時(shí),f'(x)=(x-3)(x+3)2;
當(dāng)c=5時(shí),f'(x)=(x+5)(x-1)2
因此,當(dāng)-27<c<5時(shí),1<x3<3.所以a>-3,且a+2≤3.
即-3<a<1.故a<-5,或-3<a<1.反之,當(dāng)a<-5,或-3<a<1時(shí),
總可找到c∈(-27,5),使函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+2]上單調(diào)遞減.
綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-5)∪(-3,1).
點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,恒成立問題的處理方法
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